Метод → почему он подходит → полные выкладки. Удобно объяснять преподавателю.
Найти неопределённый интеграл:
Подстановка (замена переменной)
Анализ структуры подынтегрального выражения
Вычислим производную знаменателя и сравним с числителем:
Числитель равен \(3x = \dfrac{3}{8} \cdot 8x\). Это означает, что числитель пропорционален производной знаменателя — идеальный случай для подстановки.
Введение замены переменной
Обозначим знаменатель как новую переменную \(u\):
Нахождение дифференциала
Дифференцируем обе части замены:
Подстановка в интеграл
Заменяем числитель и знаменатель через \(u\):
Интегрирование по табличной формуле
Применяем табличный интеграл \(\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln|u|+C\):
Обратная замена
Возвращаемся от \(u\) к исходной переменной \(x\), подставляя \(u = 4x^2+1\):
Модуль не обязателен, так как \(4x^2+1 > 0\) при всех \(x\), но принято писать для общности.
Ключевая идея: смотри на знаменатель — если в числителе стоит (почти) его производная, результат всегда будет логарифм.
Найти неопределённый интеграл:
Подстановка (замена переменной)
Анализ структуры
Вычислим производную знаменателя:
Числитель \(\sin 3x = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sin 3x\) — пропорционален производной знаменателя. Применяем подстановку.
Введение замены
Нахождение дифференциала
Подстановка в интеграл
Интегрирование
Обратная замена \(u = 3 - \cos 3x\)
Это классическая замена на производную знаменателя. Числитель — почти производная знаменателя (не хватает только коэффициента 3).
Найти неопределённый интеграл:
Тригонометрическое тождество + интегрирование по частям
Применение тригонометрического тождества двойного угла
Подставляем в интеграл:
Выбор функций для интегрирования по частям
Правило: в роли \(u\) берём ту функцию, производная которой проще. В роли \(dv\) — ту, которую легко проинтегрировать.
Применение формулы интегрирования по частям \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
Вычисление оставшегося табличного интеграла
Подставляем обратно:
Домножение на коэффициент \(\tfrac{1}{2}\) из шага 1
Два шага: сначала упрощаем тригонометрию, потом интегрируем по частям.
Шаг 1. Формула двойного угла: \(\sin x \cos x = \tfrac{1}{2}\sin(2x)\). Получаем \(\tfrac{1}{2}\int x\sin 2x\,dx\).
Шаг 2. Интегрирование по частям: \(u = x\), \(dv = \sin 2x\,dx\), \(v = -\tfrac{1}{2}\cos 2x\).
Шаг 3. Умножаем на \(\tfrac{1}{2}\):
Найти неопределённый интеграл:
Разложение на простейшие дроби
Факторизация знаменателя
Разложим \(x^2-1\) как разность квадратов:
Подставляем в знаменатель:
Знаменатель имеет корень \(x=1\) кратности 3 и корень \(x=-1\) кратности 1.
Запись разложения на простейшие дроби
Для кратного корня \(x=1\) кратности 3 и простого корня \(x=-1\):
Умножение обеих частей на \((x-1)^3(x+1)\)
Нахождение коэффициентов подстановкой удобных значений \(x\)
При \(x = 1\): обнуляются все слагаемые с \((x-1)\):
При \(x = -1\): обнуляются все слагаемые с \((x+1)\):
Нахождение \(A\) и \(B\) сравнением коэффициентов
Раскроем скобки и сравним коэффициенты при степенях \(x\):
Итого: \(A = \tfrac{1}{2},\; B = 2,\; C = 2,\; D = -\tfrac{1}{2}\).
Интегрирование каждой простейшей дроби
Суммирование результатов
Можно записать компактнее: \(\;\dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| - \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{(x-1)^2} + C\)
Классический пример на частичные дроби с кратным линейным множителем \((x-1)^3\). После факторизации знаменатель:
Предполагаем разложение и находим коэффициенты подстановкой \(x=1\) и \(x=-1\), затем сравнением коэффициентов при \(x^3\) и \(x^2\):
Вычислить определённый интеграл:
Алгебраическое преобразование + формула Ньютона–Лейбница
Алгебраическое преобразование подынтегральной функции
Прибавляем и вычитаем 1 в числителе:
Разбиение на два табличных интеграла
Нахождение первообразной
Используем табличный интеграл: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\).
Применение формулы Ньютона–Лейбница \(F(b)-F(a)\)
Здесь использовано: \(\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}\), \(\arctan 0 = 0\).
Самый удобный способ — преобразовать подынтегральную функцию, прибавив и вычтя 1 в числителе:
Вычисление по Ньютону–Лейбницу:
Найти общее решение ДУ:
Разделение переменных
Запись уравнения в форме с дифференциалами
Разделение переменных
Делим обе части на \(\ctg y\) (при \(\ctg y \neq 0\), т.е. \(y\neq\pi n\)), умножаем на \(dx\):
Заметим: \(\dfrac{1}{\ctg y} = \tg y = \dfrac{\sin y}{\cos y}\). Таким образом, левая часть — это \(\tg y\,dy\).
Интегрирование обеих частей
Левая часть: \(\displaystyle\int\tg y\,dy = \int\frac{\sin y}{\cos y}\,dy\). Это интеграл вида \(\int\frac{du}{u}\) при \(u=\cos y\), \(du=-\sin y\,dy\):
Правая часть:
Запись общего решения
Объединяем произвольные постоянные обеих сторон в одну \(C\):
Умножим обе части на \(-1\) (константа \(C = -\tilde{C}\) остаётся произвольной):
Уравнение с разделяющимися переменными: всё с \(y\) влево, всё с \(x\) вправо.
Интеграл \(\int\tg y\,dy\) вычисляется через замену \(u = \cos y\):
После сбора констант в одну \(C\) и умножения на \(-1\):
Найти общее решение ДУ (понижение порядка):
Понижение порядка: замена \(z = y'\)
Замена переменной для понижения порядка
Подставляем в уравнение:
Приведение к стандартной форме линейного ДУ 1-го порядка
Делим всё на \(x^3\):
Стандартная форма: \(z' + P(x)\,z = Q(x)\), где \(P(x)=\dfrac{1}{x}\), \(Q(x)=\dfrac{1}{x^3}\).
Нахождение интегрирующего множителя
Умножение уравнения на \(\mu = x\) и интегрирование
После умножения левая часть становится точным дифференциалом:
Интегрируем обе части:
Откуда:
Обратный переход: \(z = y'\), интегрируем ещё раз
Уравнение не содержит \(y\) явно — только \(y'\) и \(y''\). Признак типа \(F(x, y', y'') = 0\), замена \(z = y'\) понижает порядок на 1.
После замены получаем линейное ДУ 1-го порядка. Решаем через интегрирующий множитель \(\mu = x\), левая часть становится точным дифференциалом \((xz)'\):
Интегрируем ещё раз:
Найти общее решение ДУ:
Характеристическое уравнение
а) \(y'' - 4y' = 0\)
Корни вещественные и различные (\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)) → общее решение: \(y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\).
При \(\lambda_1=0\): \(e^{0\cdot x} = 1\), поэтому первое слагаемое — просто \(C_1\).
б) \(y'' - 4y' + 13y = 0\)
Корни комплексно-сопряжённые: \(\alpha \pm \beta i\), где \(\alpha=2\), \(\beta=3\).
Правило: \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\).
в) \(y'' - 3y' + 2y = 0\)
Корни вещественные и различные → \(y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\).
Правило очень простое: заменяем производные степенями \(\lambda\).
Это работает, потому что мы ищем решение в виде \(y = e^{\lambda x}\). Подстановка в уравнение даёт:
Так как \(e^{\lambda x} \neq 0\), остаётся только алгебраическое уравнение.
Таблица типов решений:
| Корни характеристического уравнения | Вид общего решения |
|---|---|
| Два разных вещественных \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) | \(C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\) |
| Один кратный корень \(\lambda\) (кратность 2) | \((C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}\) |
| Комплексные \(\alpha \pm \beta i\) | \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\) |
Исследовать ряд на сходимость:
Признак Даламбера
Запись общего члена ряда
Работаем с модулем: \(|a_n| = \left(\dfrac{7}{8}\right)^n \dfrac{1}{n^7}\).
Запись следующего члена \(|a_{n+1}|\)
Вычисление отношения \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)
Вычисление предела при \(n\to\infty\)
Предел \(\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^7 \to 1\), так как \(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{1+1/n} \to 1\).
Вывод
Абсолютная сходимость влечёт обычную сходимость, поэтому ряд сходится.
Ряд — комбинация геометрической прогрессии (со знаменателем \(7/8 < 1\)) и ряда Дирихле \(1/n^7\) (сходится при \(p=7>1\)).
Найти область сходимости функционального ряда:
Радикальный признак Коши
Запись общего члена
Для данного \(x > 0\), \(x \neq 1\) величина \(\ln^2 x\) — фиксированное положительное число, не зависящее от \(n\).
Вычисление \(\sqrt[n]{|a_n(x)|}\)
Вычисление предела при \(n\to\infty\)
Числитель: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\ln^2 x)^{1/n} = e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(\ln^2 x)}{n}} = e^0 = 1\) (при \(x\neq 1\), \(x>0\)).
Знаменатель: \(n \to +\infty\).
Анализ пограничного случая \(x = 1\)
Все члены равны нулю → ряд тривиально сходится при \(x=1\).
Вывод и область сходимости
Признак Коши даёт \(L = 0\) для любого \(x > 0\), так как \(n^n\) растёт несравнимо быстрее любого фиксированного \(\ln^2 x\).